「取下げ(とりさげ)」とは,手続を申し立てた者が,その手続を自ら取りやめることです

例えば,訴訟を提起した原告が,判決より前にその手続を自ら取りやめることを「訴えの取下げ」といいます(民事訴訟法261条)。
ただし,訴訟の手続が実際に始まったあとは(相手方が書面を提出するなどしたあとは),相手方の同意がなければ,取下げできません(同条2項)。

取下げというと,途中で諦めるという印象を持つかもしれませんが,例えば保全の手続(仮差押など)では,目的を達成したので取り下げることはよくあることです。
ちなみに,保全事件では,申立てを取り下げるのに,債務者の同意は必要ありません(民事保全法18条)